Posteado por: otakusigma | noviembre 25, 2009

Analisis del Movimiento Relativo en Tralación y Rotación

Movimiento Relativo en Traslación

Consideremos un sistema de referencia “fijo” S, con su origen O y los ejes cartesianos X, Y, Z, y un sistema S’ en movimiento, con su origen O’ y los ejes X’, Y’, Z’, paralelos a los ejes X, Y, Z, respectivamente, como se indica en la figura 1. Supongamos que el tiempo medido por los dos observadores es el mismo, t = t’. La posición r(t) de una partícula P en el tiempo t, indicada por el observador O está dada por:

siendo x(t), y(t), z(t) las coordenadas en el sistema S; mientras que vista por el observador O’, la posición r’(t) en el mismo tiempo, es:

siendo x’(t), y’(t), z’(t) las coordenadas en el sistema S’. La posición R(t) del observador O’ determinada por el observador O, en el tiempo t, es:

siendo X(t), Y(t), Z(t) las coordenadas en el sistema S. La relación entre los vectores de posición se puede ver directamente en la figura,

Es decir que la posición r(t) de la partícula desde el sistema de referencia “fijo” S corresponde a la posición r’(t) de la partícula medida desde el sistema en movimiento S’ más la posición R(t) del observador O’ respecto al sistema “fijo” S.

Para determinar la relación entre las velocidades tomamos el cambio respecto al tiempo en la ecuación 1,
siendo v(t) la velocidad de la partícula determinada en el sistema de referencia S:

mientras que v’(t) es la velocidad de la partícula obtenida por el observador O’:

y V(t) la velocidad conque se desplaza el observador O’ respecto al sistema de referencia “fijo” S, es:

Es decir, de acuerdo con la relación 2, que la velocidad v(t) de la partícula desde el sistema de referencia “fijo” S corresponde a la velocidad v’(t) de la partícula medida desde el sistema en movimiento S’ más la velocidad V(t) del observador O’ respecto al sistema “fijo” S.

Movimiento Relativo de Rotación

Consideremos dos sistemas de referencia en donde coinciden los dos observadores O y O’, con el sistema S “fijo” y el sistema S’ en rotación con velocidad angular w constante, alrededor de un eje fijo, como se indica en la figura 2. También, consideremos que el tiempo medido por los dos observadores es el mismo. La posición de una partícula determinada por los dos observadores, r(t) y r’(t), es igual,

con la posición respecto al sistema de referencia S dada en términos de sus coordenadas x(t), y(t), z(t), como

y la posición respecto al sistema de referencia S’ en términos de las coordenadas x’(t), y’(t), z’(t), dada por

con los vectores unitarios i’, j’, k’ en rotación respecto al sistema S.

La velocidad v(t) de la partícula determinada por el observador O, es:

mientras que v’(t) es la velocidad de la partícula obtenida por el observador O’:

Sin embargo, la velocidad determinada por el observador O se puede relacionar con la velocidad medida por el observador O’ considerando la relación 8, de tal manera que

sustituyendo la expresión para la posición r’(t),

debido a la rotación de los vectores unitarios primados respecto al sistema de referencia “fijo”. Los tres primeros términos corresponden a la velocidad de la partícula determinada por el observador O’. Por otra parte, los cambios en el tiempo de los vectores unitarios es la velocidad de un punto a una distancia unitaria girando con velocidad angular w constante,

por lo que la relación entre las velocidades es:

Factorizando a la velocidad angular de los últimos tres términos, tenemos:


por lo que obtenemos finalmente la relación:

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